הפרדוקס עצמו:

"זנון הביך במידה גדולה את עמיתיו הפילוסופים בשעה שטען כי אף
אכילס הגיבור, תהיה ריצתו מהירה ככל שתהיה, לא יוכל לעולם
להשיג צב זוחל שיצא לדרך לפניו.
זאת משום שבשעה שיגיע אכילס אל מקומו ההתחלתי של הצב, בנקודה
A, יימצא הצב כבר בנקודה B (במרחק מה מנקודה A). כאשר יגיע
אכילס לנקודה B יימצא הצב בנקודה C (במרחק מה, אמנם קטן יותר,
מנקודה B). כתוצאה מכך, טען זנון, יימצא הצב האיטי לפני אכילס
הזריז, הגם שהמרחק ביניהם ילך ויצטמצם." (מתימטיקה- בהוצאת
הספרייה המדעית של לייף)

הטעות:
פרדוקס זה מכיל בתוכו טעות חמורה, הנחת היסוד של הפרדוקס הינה
היותו של אכילס מהיר יותר מן הצב.
נדמה את המצב לשעון, המחוג הקטן (שעות) כמקביל לצב, ואילו
המחוג הגדול (דקות) כמקביל לאכילס.
ידוע כי המחוג הגדול מהיר יותר מהמחוג הקטן פי 60.
נניח שהשעה הינה 14:00 בצוהריים בדיוק, המחוג הקטן יזוז מעט עד
שיגיע המחוג הגדול לספרה 2, המחוג הקטן יזוז כמעה יותר עד
שיגיע המחוג הגדול לנקודה בה היה כשהגדול עדיין שהה ב2 וכך
הלאה עד אינסוף, אמנם כאן נמצאת הטעות.
כשאנו מודדים מרחק במידות שהולכות וקטנות עד אינסוף אנו נאלצים
לבסוף לומר שהמרחק הכי קטן שעצם כלשהו יכול לעבור הינו מרחק של
נקודה (שכידוע לכל חסרת מרחב ובעלת מרכז בלבד), זה נובע מכך
שאנו מחלקים מספר שלם באינסוף ומגיעים למספר ששואף ל 0.
מכן נובע שהמחוג הקטן בזמן אינסופי ינוע במרחקים של נקודה
בלבד, ואילו המחוג הגדול ינוע אף הוא במרחקים של נקודה בלבד,
מאחר שאינו יכול לנוע פחות מכך.- אולם מסקנה זו נוגדת את הנחת
היסוד שלנו בה המחוג הגדול נע פי 60 מהר יותר מהמחוג הקטן,
ולכן הפרדוקס מבטל את עצמו.

אם כן איך בכל זאת אכילס משיג את הצב במציאות?:
זנון הצליח לבלבל הוגי דעות רבים מאחר שכולם התעלמו ממושג אחד,
מעט מעורפל, שנקרא עוצמה.
עוצמה של אינסוף, העובדה שאינסוף מסוים יוכל להיות חזק יותר,
ולכלול מספרים רבים יותר מאינסוף אחר.
תארו לעצמכם את ציר המספרים, תמיד נאמר לכם שיש אינסוף מספרים,
1, 10, 100, 1000, 10000 וכן הלאה...
נסו להתמקד על הציר בצורה קצת יותר קרובה, נסו לדמיין את הקטע
על הציר שנמצא בין הספרה 0 לספרה 1.
שאלו את עצמכם "כמה ספרות יש בין 0 ל 1?"
התשובה המתבקשת הינה "1" יש ספרה אחת בין הספרה 0 לספרה 1
אולם כאן אנו שוכחים משהו..
מה בדבר ½ ? או ¼ ? או אולי 1/8? או 1/16? או 1/10000000 ?
המממ הרבה לא חשבו על זה...
אם כן אנו נאלצים להגיד שיש אינסוף ספרות בין הספרה 0 לספרה
1.
עכשיו קחו מרחק מהתמונה והסתכלו על ציר המספרים השלמים... כמה
מספרים שלמים יש מתחילתו ועד סופו?
כן, ניחשתם .. אינסוף.
אולם כמה ספרות יש מתחילתו ועד סופו אם בין כל ספרה וספרה יש
אינסוף מספרים שלמים ויש אינסוף ספרות?
הממ.. כאן נכנס המושג אינסוף בריבוע או אינסוף בעוצמה שניה...

אחרי שהסברנו את המושג הזה נחזור לפתרון הפרדוקס...
תארו את הצב ואכילס על ציר המספרים... הצב מתחיל את "ריצתו"
בספרה 4 ואילו אכילס בספרה 0
אכילס מגיע ל4 כשהצב מגיע ל 6 (תנו לצב קצת קרדיט, הוא אכל
המון תרד היום).
אכילס מגיע ל 6 כשהצב מגיע ל 7, אכילס מגיע ל 7 כשהצב מגיע ל ½
7 אכילס מגיע ל ½ 7 כשהצב מגיע ל3/4 7 וכן הלאה..
נדמה ששני האצנים מנסים לעשות את דרכם דרך אינסוף הספרות
שנמצאות בין 7 ל 8 בזמן שנמתח עד האינסוף.
אמנם כאן אנו טועים.
הקטע שנמצא בין 7 ל 8 בדומה לכל קטע אחר מכיל אינסוף נקודות,
אמנם אנו בחרנו להסתכל על הקטע הזה בהשוואה לזמן, אבל בעודנו
רואים את המרחק כרצף של ספרות ולא רק מספרים שלמים אנו בוחרים
להתעלם מעובדה זו בנוגע לציר הזמן ולהתייחס אליו כאילו הכיל רק
מספרים שלמים, כאילו השעה שבע וחצי או רבע לשמונה אינן קיימות,
אנו מתייחסים לזמן כאינסוף ואומרים שאינסוף הספרות שבין הספרה
7 ל 8 מקבילות לאינסוף השניות שבין השנייה הראשונה בה התחילו
האצנים את המרוץ ועד סוף הזמן.
אמנם הזמן גם הוא ציר, וכציר מכיל אינסוף בעוצמה שניה של ספרות
משמע אינסוף בריבוע. ומאחר והאצנים מנסים לעשות מרחק שהוא
אינסופי מעוצמה ראשונה (כי הם הרי מנסים להגיע רק עד הספרה 10
ולא עד לסוף ציר המספרים) בזמן שהוא אינסופי ממעלה שנייה,
הפרדוקס נפתר.
המרחק האינסופי שבין הספרות 0 ל 10 יתבטל ע"י הזמן האינסופי
שבין השניה ה0 לשניה ה 10 של המרוץ וכך נוכל להתעלם מהבעיה
מההיבט האינסופי ולחזור למשוואות הרגילות שלנו בהן המרחק הוא
סופי ואילו הזמן מתייחס אליו באותו ההיבט.