ניתן לטעון כי תכניתו של הילברט להצרנה מלאה של השיטה
האקסיומטית, מבוססת על רעיון הסגירות הקיים במושג החבורה.
לדוגמא: המכפלה של שני איברים בתוך החבורה היא איבר מתוך
החבורה. על פי רעיון הסגירות ותוכנית הילברט, כל אובייקט הנגזר
ממערכת אקסיומטית X, שייך לה בשלמותו וניתן להוכחה במסגרתה.

משפטי גדל הראו כי מערכת אקסיומטית החזקה דיה לעסוק באריתמטיקה
של המספרים הטבעיים, מאפשרת קיומו של אובייקט הנגזר ממערכת
אקסיומטית כנ"ל, אך אינו ניתן להוכחה במסגרתה.

המסקנה המקובלת למשפטי אי-הכריעות של גדל היא, שמרחב מתמטי
המאפשר אריתמטיקה של המספרים הטבעיים, אינו יכול להיות
בו-זמנית גם עקבי (אינו מוכיח דבר והיפוכו) וגם שלם (מאפשר
הוכחת כל תוצאה הנובעת ממערכת האקסיומות המכוננת אותו, ללא
יוצא מן הכלל).

אם נגדיר באופן לוגי את אי-הסגירות הנובעת ממשפטי אי-הכריעות
של גדל, נקבל "פירוש חיובי" לתוצאתו, המקיים אי-סגירות כתכונה
מכוננת של השיטה האקסיומטית. אי-סגירות פירושה, שבכל מערכת
אקסיומות עקבית החזקה דיה לעסוק באריתמטיקה של המספרים
הטבעיים, קיים יש מתמטי החורג תמידית מעבר למערכת האקסיומות
הנתונה.

יש זה הינו אי-מקומי מעצם הגדרתו הלוגית, והוא חורג תמידית
מעבר לכל תחום נתון ומפר לוגית את כלל הסגירות של השיטה
האקסיומטית (על-פי כלל זה, אובייקט הנגזר ממערכת אקסיומטית X,
שייך לה בשלמותו). שילוב עקבי של אי-מקומיות בשיטה האקסיומטית,
מחייב בחינה מחדש של התנאים המכוננים העומדים בבסיסה.

התנאי הראשון הינו אי-הגזירות או העצמאיות-ההדדית הקיימת בין
ישויות מתמטיות הנחשבות לאקסיומות.

עפ"י כלל זה, אף אקסיומה אינה נובעת (תלויה לקיומה) מאף
אקסיומה אחרת. במילים אחרות, עצמאיותה של אקסיומה נובעת בהכרח
מקיומה של לפחות תכונה אחת, שאינה קיימת באף אחת מהאקסיומות,
החולקות איתה את אותה מערכת אקסיומטית.

כלל המובחנות המתואר לעיל, מקיים מערכת אסימטרית המבוססת על
השוני הקיים בין כל אחת מאקסיומות המערכת, ומאפשר זיהוי תחת
תמורה. רק אי-שונות תחת תמורה מקיימת מערכת המבוססת על
סימטריה, כאשר הסימטריה הינה אי-שונות החורגת מהתכונה העצמית
(השונות) של כל אקסיומה במערכת.

המושג עצמאיות-הדדית הינו, למעשה, לא-פחות מאשר שילוב בין
המקומי (אסימטרי/מובחן) ללא-מקומי (סימטרי/לא-מובחן), כאשר
הלא-מקומי (סימטרי/לא-מובחן) חורג תמידית מכל יש מתמטי מקומי
(סימטרי/מובחן).

הסימטריה בתורת-החבורות נבחנת עפ"י חזרתם של אלמנטים (המובחנים
היטב זה מזה) למצבם המקורי תחת-תמורה. לכן מושג הסימטריה מוגבל
בתורה זו למושג הסדרה, שבה "מתקרבים" או "מתרחקים" מהמצב
המקורי בשיטת הצעד-אחר-צעד.

שיטת הצעד-אחר-צעד הינה אסימטרית ביסודה, ולכן סימטריה במלוא
מובן המילה קיימת רק ואך ורק במערכת שבה לא מובחנים האיברים זה
מזה תחת תמורה, או במילים אחרות, מנקודת-המבט הסימטרית, כל
אוסף איברים מקיים סופרפוזיציה של זהויות-עצמיות, המונעת
מאיתנו לשייך תכונה כלשהי לאלמנט, הניתנת לזיהוי תחת תמורה.

אי-זיהוי תחת תמורה מקיים שימור סימטריה מקבילי, ושימור זה חזק
יותר מהשימור המודגם בסגירות המחזורית של צעד-אחר-צעד. שימור
סימטריה מקבילי חורג תמידית בעוצמתו מכל שימור סימטריה סדרתי,
ובכך מותמר מושג האקסיומה לישות המקיימת סימולטנית תכונה
מקומית (אסימטרית/מובחנת) השומרת על עצמאיותה, ותכונה
לא-מקומית (סימטרית/לא-מובחנת) המאפשרת הדדיות בין מקומיים,
וחורגת מעבר לכל שילוב מקומי שלהם.

שילוב בין הסימטרי-מקבילי לאסימטרי-סדרתי, מאפשר מתן "פירוש
חיובי" למשפטי אי-הכריעות של גדל.

יסודותיה של גישה זו מתוארים בקצרה ב:
http://www.geocities.com/complementarytheory/TOUM.pdf